Question

17．已知M是滿足下列性質(zhì)的所有函數(shù)f（x）組成的集合：對(duì)于函數(shù)f（x），使得對(duì)函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）已知函數(shù)f（x）=x²+1，$x∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$，判斷f（x）與集合M的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)g（x）=ax+b∈M，求實(shí)數(shù)a，b的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得$p（x）=\frac{a}{x+2}$，x∈[-1，+∞）屬于集合M？若存在，求a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，通過(guò)判斷任取${x_1}，{x_2}∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$，證明|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，說(shuō)明f（x）屬于集合M．
（2）利用新定義，列出關(guān)系式，即可求出實(shí)數(shù)a，b的取值范圍．
（3）通過(guò)若p（x）∈M，推出$|{\frac{a}{{{x_1}+2}}-\frac{a}{{{x_2}+2}}}|≤|{{x_1}-{x_2}}|$，然后求解a∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時(shí)，p（x）∉M．

解答 解：（1）任取${x_1}，{x_2}∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$，$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|=|{{x_1}^2-{x_2}^2}|=|{{x_1}+{x_2}}||{{x_1}-{x_2}}|$
∵$-\frac{1}{2}≤{x_1}，{x_2}≤\frac{1}{2}$，∴-1≤x₁+x₂≤1，∴0≤|x₁+x₂|≤1
∴|x₁+x₂||x₁-x₂|≤|x₁-x₂|
即|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，f（x）屬于集合M…（4分）
（2）∵g（x）=ax+b∈M，
∴使得任意x₁、x₂∈R，均有|g（x₁）-g（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
即存在|g（x₁）-g（x₂）|=|a||x₁-x₂|≤|x₁-x₂|
∴$\left\{\begin{array}{l}-1≤a≤1\\ b∈R\end{array}\right.$…（10分）
（3）若p（x）∈M，則|p（x₁）-p（x₂）|≤|x₁-x₂|對(duì)任意的x₁、x₂∈[-1，+∞）都成立．
即$|{\frac{a}{{{x_1}+2}}-\frac{a}{{{x_2}+2}}}|≤|{{x_1}-{x_2}}|$，
∴|a|≤|（x₁+2）（x₂+2）|
∵x₁、x₂∈[-1，+∞），∴|（x₁+2）（x₂+2）|≥1，
∴|a|≤1，-1≤a≤1
∴當(dāng)a∈[-1，1]時(shí)，p（x）∈M；
當(dāng)a∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時(shí)，p（x）∉M．…（18分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的應(yīng)用，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、