Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3 ，直線 與拋物線 交于 ， 兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)。

(1)求拋物線的方程；

(2)求的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），運(yùn)用拋物線的定義，可得23，解得p＝2，進(jìn)而得到拋物線的方程；

（2）由題意，直線AB方程為y＝x﹣1，與y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，算出|AB|；利用點(diǎn)到直線的距離公式算出點(diǎn)O到直線AB的距離，即可求出△AOB的面積

（1）拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，

且過一點(diǎn)P（2，m），

可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），

P（2，m）到焦點(diǎn)的距離為3，

即有P到準(zhǔn)線的距離為6，即23，

解得p＝2，

即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x；

（2）聯(lián)立方程化簡，得x2﹣6x+1＝0

設(shè)交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）

∴x1+x2＝6，x1x2＝1

可得|AB||x1﹣x2|＝8

點(diǎn)O到直線l的距離d，

所以△AOB的面積為S|AB|d82．