Question

如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，,是邊長為2的等邊三角形，,.

（Ⅰ）求證：底面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大��；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，=

【解析】

試題分析：（Ⅰ）,所以為中點(diǎn)。因?yàn)榈冗吶�角形中線即為高線，等腰三角形底邊中線也為高線，可證得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得底面。（Ⅱ）直線與平面在圖中沒有標(biāo)示出交點(diǎn)，故用空間向量法較簡單。根據(jù)底面為菱形和底面可建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系。求點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)，得,即可求點(diǎn)的坐標(biāo)，也可根據(jù)求。先求面的法向量，此法向量與所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值。（Ⅲ）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得∥平面。設(shè)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，在（Ⅱ）中以求出面的法向量，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030505432253714612/SYS201403050544188652617073_DA.files/image021.png">∥平面，所以垂直與的法向量，可求得的值，若說明假設(shè)成立，否則假設(shè)不成立。

試題解析：解：（Ⅰ）因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030505432253714612/SYS201403050544188652617073_DA.files/image009.png">是菱形，,

所以為中點(diǎn).                       1分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030505432253714612/SYS201403050544188652617073_DA.files/image029.png">,

所以,                                    3分[

所以底面.                                     4分

（Ⅱ）由底面是菱形可得,

又由（Ⅰ）可知.

如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

由是邊長為2的等邊三角形，，

可得.

所以.            5分

所以,.

由已知可得            6分

設(shè)平面的法向量為，則

即

令，則，所以.          8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030505432253714612/SYS201403050544188652617073_DA.files/image047.png">，          9分

所以直線與平面所成角的正弦值為，

所以直線與平面所成角的大小為.                    10分

（Ⅲ）設(shè)，則

.         11分

若使∥平面，需且僅需且平面，      12分

解得,          13分

所以在線段上存在一點(diǎn)，使得∥平面.

此時(shí)=.                                               14分

考點(diǎn)：線面平行、線面垂直、線面角、空間向量法解立體幾何，考查空間想象能力、邏輯思維能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力。