Question

已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)，g(x)=

1

6

x3+b，直線l：y=x與y=f（x）的圖象相切．（1）求實數(shù)a的值；（2）若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且僅有兩個解x₁，x₂．①求實數(shù)b的取值范圍； ②比較x₁x₂+1與x₁+x₂的大�。�

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），設(shè)出切點坐標P（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′（x₀）=1，且點P在切線和曲線上，列方程組即可解得a的值
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）有兩個零點x₁，x₂．求h（x）的導(dǎo)函數(shù)，解不等式得其單調(diào)區(qū)間和極值，①根據(jù)零點存在性定理，由極值及區(qū)間端點出函數(shù)值的正負，列不等式即可解得b的范圍，②由①可知零點的范圍，利用作差法即可比較x₁x₂+1與x₁+x₂的大小

解答：解：（1）設(shè)切點P（x₀，y₀）
∵f′(x)=

1

x+a

，y=x與y=f（x）的圖象相切
∴

1 x   0 +a =1 y   0 =ln( x   0 +a)= x   0

∴x₀=y₀=0    
∴a=1
（2）令h(x)=g(x)-f(x)=

1

6

x3-ln(x+1)+b
∵h′(x)=

1

2

x2-

1

x+1

=

(x-1)(x2+2x+2)

2(x+1)

  （x＞0）
由h'（x）＜0，得x∈（0，1），由h'（x）＞0，得x∈（1，+∞）
∴h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴h（x）在x=1處取得極小值h（1）=

1

6

+b-ln2
①依題意，若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且僅有兩個解x₁，x₂．
需：

h(1)= 1 6 +b-ln2＜0 h(0)=b＞0 x→+∞時，h(x)＞0

解得0＜b＜ln2-

1

6

②∵h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴h（x）=0的根一個在（0，1）內(nèi)，一個在（1，+∞）內(nèi)，
不妨設(shè)0＜x₁＜1，x₂＞1
∴x₁x₂+1-（x₁+x₂）=（x₁-1）（x₂-1）＜0
∴x₁x₂+1＜x₁+x₂．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值解決根的存在和根的個數(shù)問題的方法，作差法證明不等式的方法