Question

9．已知點N是點M（-3，0）在直線ax+by+c=0上的射影，若a，b，c成等差數(shù)列，且點P的坐標(biāo)是（2，2），則PN的取值范圍是[3$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$，3$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 由a，b，c成等差數(shù)列得到a-2b+c=0，說明動直線ax+by+c=0恒過定點Q（1，-2），點N是點M（-3，0）在直線ax+by+c=0上的射影，可知N在以MQ為直徑的圓上，求出圓的圓心坐標(biāo)和圓的半徑，再由兩點間的距離公式求出圓心到N點的距離，則PN的最大值為圓心到N點的距離加半徑，PN的最大值為圓心到N點的距離減半徑，進而得到答案．

解答 解：∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
可得方程ax+by+c=0恒過Q（1，-2），
又點N是點M（-3，0）在直線ax+by+c=0上的射影，
∴∠MNQ=90°，
∴N在以MQ為直徑的圓上，
∴由中點坐標(biāo)公式求得圓的圓心C坐標(biāo)為（-1，-1），
半徑r=$\sqrt{5}$，
又點P的坐標(biāo)是（2，2），
∴|CP|=3$\sqrt{2}$，
則PN的最大值是3$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
PN的最小值是3$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$，
PN的取值范圍是[3$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$，3$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$]；
故答案為：[3$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$，3$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$]

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了直線系方程的應(yīng)用，是直線方程與圓的綜合應(yīng)用，是中檔題．