【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+.
(I)當(dāng)a=時(shí),求函數(shù)f(x)在x=0處的切線方程;
(II)函數(shù)f(x)是否存在零點(diǎn)?若存在,求出零點(diǎn)的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=-3x-l.(2)見(jiàn)解析
【解析】分析:(I)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得,即可利用直線的點(diǎn)斜式方程得到切線的方程;
(II)由函數(shù)的解析式,分類和討論,其中當(dāng)時(shí),利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
詳解:(I)f(x)=ex+,f'(x)=ex-,f' (0)=1-.
當(dāng)a=時(shí),f'(0)=-3. 又f(0)=-1,則f(x)在x=0處的切線方程為y=-3x-l.
(II)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ǎ?/span>,a)(a,+).
當(dāng)x∈(a,+)時(shí),ex>0,>0,所以f(x)=ex+>0,
即f(x)在區(qū)間(a,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn).
當(dāng)x∈(-∞,a)時(shí),f(x)=ex+=,
令g(x)=ex(x-a)+1,只要討論g(x)的零點(diǎn)即可.
g'(x)=ex(x-a+1),g'(a-1)=0.
當(dāng)x∈(-∞,a-1)時(shí),g'(x)<0,g(x)是減函數(shù);
當(dāng)x∈(a-1,a)時(shí),g'(x)>0,g(x)是增函數(shù),
所以g(x)在區(qū)間(-∞,a)上的最小值為g(a-1)=1-ea-1.
當(dāng)a=1時(shí),g(a-1)=0,所以x=a-1是f(x)的唯一的零點(diǎn);
當(dāng)a<l時(shí),g(a-1)=1-ea-1>0,所以f(x)沒(méi)有零點(diǎn);
當(dāng)a>l時(shí),g(a-1)=1-ea-1<0. 所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上除A、B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),DC垂直于半圓O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB= .
證明:平面ADE⊥平面ACD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形,PD⊥平面ABCD,M為PC中點(diǎn).
(1)求證:AP∥平面MBD;
(2)若AD⊥PB,求證:BD⊥平面PAD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),是奇函數(shù).
(1)求,的值;
(2)證明:是區(qū)間上的減函數(shù);
(3)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex
①(-,)是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
②f(-)是f(x)的極小值,f()是f(x)的極大值;
③f(x)沒(méi)有最大值,也沒(méi)有最小值;
④f(x)有最大值,沒(méi)有最小值.
其中判斷正確的是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),(i)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(1)求角A的大。
(2)若△ABC的面積S=5,b=5,求sinBsinC的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱柱BCF﹣ADE的側(cè)面CFED與ABFE都是邊長(zhǎng)為1的正方形,M、N兩點(diǎn)分別在AF和CE上,且AM=EN.
(1)求證:平面ABCD⊥平面ADE;
(2)求證:MN∥平面BCF;
(3)若點(diǎn)N為EC的中點(diǎn),點(diǎn)P為EF上的動(dòng)點(diǎn),試求PA+PN的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,點(diǎn)P(2,0).
(I)求橢圓C的短軸長(zhǎng)與離心率;
( II)過(guò)(1,0)的直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn),設(shè)MN的中點(diǎn)為T,判斷|TP|與|TM|的大小,并證明你的結(jié)論.
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