Question

4．若α∈（$\frac{π}{2}$，π），則$\frac{sin2α}{si{n}^{2}α+4co{s}^{2}α}$的最小值為$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 變形為$\frac{2tanα}{ta{n}^{2}α+4}$=$\frac{2}{tanα+\frac{4}{tanα}}$，運用基本不等式求解即可．

解答 解：$\frac{sin2α}{si{n}^{2}α+4co{s}^{2}α}$=$\frac{2sinαcosα}{si{n}^{2}α+4co{s}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{ta{n}^{2}α+4}$
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），tanα≠0，tanα＜0，
∴（-tanα）+（-$\frac{4}{tanα}$）≥4，
即tan$α+\frac{4}{tanα}$≤-4，
$\frac{2}{tanα+\frac{4}{tanα}}$$≥-\frac{1}{2}$
∴原式=$\frac{2}{tanα+\frac{4}{tanα}}$的最小值$-\frac{1}{2}$．
故答案為：$-\frac{1}{2}$

點評 本題考查了三角函數(shù)的求值問題，基本不等式的求解，關(guān)鍵是恒等變形得出運用基本不等式的條件即可，難度不大，中檔題．