Question

【題目】已知橢圓C： 的長軸長為4，焦距為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過動點M（0，m）（m>0）的直線交x軸與點N，交C于點A，P（P在第一象限），且M是線段PN的中點，過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長線QM交C于點B.

（i）設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、，證明為定值.

（ii）求直線AB的斜率的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)(i)證明見解析；(ii) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意可得，橢圓C的方程為.

（Ⅱ）（i）設(shè)，由題意可得，結(jié)合斜率公式可得PM的斜率，QM的斜率，故為定值－3.

（ii）設(shè)，直線PA的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得.則， ，同理，故.結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得當且僅當時，直線AB的斜率有最小值為.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，

由題意知，

所以，

所以橢圓C的方程為.

（Ⅱ）（i）設(shè)，

由，可得，

所以直線PM的斜率，

直線QM的斜率，

此時，所以為定值－3.

（ii）設(shè)，

直線PA的方程為，

直線QB的方程為，

聯(lián)立，

整理得.

由可得，

所以，

同理，

所以，

，

所以.

由，可知，

所以，等號當且僅當時取得，

此時，即，符合題意，

所以直線AB的斜率的最小值為.