Question

已知直角坐標(biāo)平面中有兩個(gè)定點(diǎn)M（-1，0）、N（1，0），問(wèn)在此平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得下面兩個(gè)條件：
（1）P到M的距離與P到點(diǎn)N距離的比為

2

（2）點(diǎn)N到直線PM的距離為

2

同時(shí)成立？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），由（1）的條件P到點(diǎn)M（-1，0）距離與到點(diǎn)N（1，0）距離的比為

2

，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得

|PM|

|PN|

=

2

，

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

，化簡(jiǎn)即可得到一個(gè)方程；
（2）令l_PM：y=k（x+1），kx-y+k=0可得點(diǎn)N到直線PM的距離d=

|2k|

k2+1

=

2

，即可解得k．與（1）圓的方程聯(lián)立即可解得．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），因P到點(diǎn)M（-1，0）距離與到點(diǎn)N（1，0）距離的比為

2

．
即

|PM|

|PN|

=

2

，

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

，
化簡(jiǎn)得：x²-6x+y²+1=0．
（2）令l_PM：y=k（x+1），kx-y+k=0
點(diǎn)N到直線PM的距離d=

|2k|

k2+1

=

2

，k=±1．
∴直線PM方程是y=±（x+1）．
由

y=±(x+1) x2-6x+y2+1=0

得：x²-2x+1=0，解得x=1．
代入得y²=4，解得y=±2．
∴P（1，±2）．
所以存在這樣的P點(diǎn)（1，2）、（1，-2）使條件（1）（2）同時(shí)成立．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．