Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（

1

2

）^x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是______．

Answer 1

∵對(duì)于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，且T=4．
又∵當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（

1

2

）^x-1，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，如下圖所示：



又f（-2）=f（2）=3，則有 log_a4＜3，且log_a8＞3，解得：

3	4

＜a＜2，
故答案為 （

3	4

，2）．