Question

9．已知F為拋物線y²=4x的焦點，點A，B在該拋物線上，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=0（其中O為坐標原點），則△ABO與△BFO面積之差的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 16$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)出A，B的坐標，討論直線斜率存在時，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用消元法得到關(guān)于x的一元二次方程，由$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，建立關(guān)于參數(shù)k，b的關(guān)系，消去b可得直線恒過（4，0），再考慮斜率不存在，結(jié)論成立，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），設(shè)A在上方，

（1）當直線l存在斜率時，設(shè)直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．
聯(lián)立方程，消去y得k²x²+（2kb-4）x+b²=0①，則x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，
由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，則y₁y₂=4•$\frac{k}$，
又$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
即$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$+4•$\frac{k}$=0，
解得b=0（舍去）或b=-4k②，
故直線l的方程為：y=kx-4k=k（x-4），故直線過定點（4，0），
（2）當直線l斜率不存在時，設(shè)它的方程為x=m，顯然m＞0，
聯(lián)立方程解得y=±2$\sqrt{m}$，即y₁y₂=-4m
又因為$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=0，所以可得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-4m=0，
解得m=0（舍去）或m=4
可知直線l方程為：x=4，
故直線過定點（4，0）．
設(shè)AB的方程為x=my+4，代入y²=4x，可得y²-4my-16=0，
∴y₁y₂=-16；
S_△ABO=$\frac{1}{2}$×4×（y₁-y₂），
S_△BOF=$\frac{1}{2}$×（-y₂），
∴S_△ABO-S_△BOF=2y₁-$\frac{3}{2}$y₂=2y₁+$\frac{24}{{y}_{1}}$≥2$\sqrt{2{y}_{1}×\frac{24}{{y}_{1}}}$=8$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查向量垂直的條件，同時考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及證明直線恒過定點，屬于中檔題．