Question

已知奇函數(shù)f(x)的定義域為實數(shù)集，且f(x)在［0，+∞)上是增函數(shù)，當0≤θ≤時，是否存在這樣的實數(shù)m,使f(cos2θ-3)?+f(4m-2mcosθ)＞f(0)對所有θ∈［0，］均成立？若存在，則求出所有適合條件的實數(shù)m;若不存在，試說明理由.

Answer 1

解法一：∵f(x)在R上是奇函數(shù)，又在［0，+∞)上是增函數(shù),?

∴f(x)在（-∞,0］上是增函數(shù)，在R上也是增函數(shù)，且f(0)=0.?

∵f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0,?

∴f(cos2θ-3)＞f(2mcosθ-4m).?

∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m,即cos²θ-mcosθ+2m-2＞0.?

令cosθ=t,由0≤θ≤,得0≤t≤1,?

∴g(t)=t²-mt+2m-2=(t-)²- +2m-2.?

（1）當＜0時，g(0)最小，?

故需＜0且g(0)=2m-2＞0,此時m不存在.?

（2）當0≤≤1時，g()最小，故需0≤≤1,且g()?=-+2m-2＞0,得4-2＜m≤2.?

（3）當＞1時，g(1)最小，?

故只需＞1且g(1)=m-1＞0，即m＞2.?

綜合（1）（2）（3）可知，符合題意的m的值存在.?

m的取值范圍是（4-2，2］∪（2，+∞），即（4-2，+∞）.?

解法二：原不等式可化為m＞，即對y=求最大值.?

令t=cosθ,則t∈［0，1］,

∴.?

當且僅當2-t=,即t=2- (∈［0，1］)時取等號，?

∴y=的最大值存在為y=4-2.?

當m＞4-2時，都滿足題目條件，m的取值范圍是 (4-2，+∞).