Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心，AA₁=2

2

，C₁H⊥平面AA₁B₁B，且C₁H=

5

．
（1）求異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值；
（2）求二面角A-A₁C₁-B₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間角

分析：（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量的夾角即可得出；
（2）先求出兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角的余弦值．

解答： 解：（1）如圖所示，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．
依題意，得A（2

2

，0，0），B（0，0，0），H（

2

，

2

，0），C（

2

，-

2

，

5

），A₁（2

2

，2

2

，0），B₁（0，2

2

，0），C₁（

2

，

2

，

5

）．
∴

AC

=（-

2

，-

2

，

5

），

A1B1

=（-2

2

，0，0），
∴cos＜

AC

，

A1B1

＞=

4

3×2 2

=

2

3

．
∴異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值為

2

3

．
（2）

AA1

=（0，2

2

，0），

A1C1

=（-

2

，-

2

，

5

）．
設(shè)平面AA₁C₁的法向量

m

=（x，y，z），則

- 2 x- 2 y+ 5 z=0 2 2 y=0

，
可得

m

=（

5

，0，

2

）．
同理可得面A₁B₁C₁的法向量

n

=（0，

5

，

2

）．
于是cos＜

m

，

n

＞=

2

7 × 7

=

2

7

，
∴二面角A-A₁C₁-B₁的余弦值為-

2

7

．…（12分）

點(diǎn)評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用異面直線的方向向量的夾角求異面直線所成的角、兩個(gè)平面的法向量的夾角求二面角的方法是解題的關(guān)鍵．