Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求直線B₁B和平面CDB₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）以C為原點(diǎn)，直線CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AC=BC=CC₁=2，求出向量

CD

，

AB

，

B1B

，求出

CD

與

AB

的數(shù)量積以及

CD

與

B1B

的數(shù)量積，從而證得CD⊥AB，CD⊥B₁B，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證得；
（2）欲證AC₁∥平面CDB₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AC₁與平面CDB₁內(nèi)一直線平行即可，而DE∥AC₁；
（3）直線B₁B和平面CDB₁所成的角就是B₁B和DB₁所成的角，∠BB₁D是直線B₁B和平面CDB₁所成的角，利用向量求出此角即可．

解答：解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，
∴AC、BC、CC₁兩兩垂直．
如圖，以C為原點(diǎn)，直線CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AC=BC=CC₁=2．
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（0，2，2），D（1，1，0）．
（Ⅰ）證明：∵

CD

=(1，1，0)，

AB

=(-2，2，0)，

B1B

=(0，0，-2)
∴

CD

•

AB

=0，

CD

•

B1B

=0，CD⊥AB，CD⊥B₁B．
又AB∩B₁B=B，
∴CD⊥平面A₁ABB₁（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為E，則E（0，1，1）．
∵

DE

=(-1，0，1)，

AC1

=(-2，0，2)，∴

DE

=

1

2

AC1

，∴DE∥AC1.（7分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD⊥平面A₁ABB₁，
∴平面CDB₁⊥平面A₁ABB₁，且平面CDB₁∩平面A₁ABB₁=DB₁，
∴直線B₁B和平面CDB₁所成的角就是B₁B和DB₁所成的角，
即∠BB₁D是直線B₁B和平面CDB₁所成的角（12分）
∵

B1D

=(1，-1，-2)，
∴cos?

B1B

，

B1D

?=

B1B • BD

| B1B || BD |

=

6

3

，
∴直線B₁B和平面CDB₁所成角的大小是arccos

6

3

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定和直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．