Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，且∠F₁PF₂=60°則△PF₁F₂的面積為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用橢圓定義求出|PF₁|+|PF₂|和|F₁F₂|的值，通過余弦定理求出|PF₁||PF₂|的值，再代入三角形的面積公式即可．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1方程可知，a=5，b=3，∴c=4．
∵P點在橢圓上，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左右焦點，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a=10，|F₁F₂|=2c=8
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
=$\frac{1{0}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-{8}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{36-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴72-4|PF₁||PF₂|=2|PF₁||PF₂|，
∴|PF₁||PF₂|=12，
又∵在△F₁PF₂中，
${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|sin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$×12sin60°=3$\sqrt{3}$．
故答案為：$3\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查橢圓中焦點三角形的面積的求法，關(guān)鍵是應用橢圓的定義和余弦定理轉(zhuǎn)化，考查計算能力．