Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱A₁D₁，A₁B₁的中點． 
（Ⅰ）求異面直線DE與FC₁所成的角的余弦值；
（II）求BC₁和面EFBD所成的角；
（ III）求B₁到面EFBD的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）異面直線DE與FC₁所成的角等于向量

DE

與

FC1

的夾角或其補(bǔ)角，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；
（II）建立空間坐標(biāo)系，確定面EFBD的法向量

n

=(-2，2，1)，

BC1

=(-2，0，2)，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；
（III）點B₁到面EFBD的距離d等于向量

BB1

在面EFBD的法向量上的投影的絕對值．

解答：解：（Ⅰ）如圖建立空間坐標(biāo)系D-xyz，記異面直線DE與FC₁所成的角為α，則α等于向量

DE

，

FC1

的夾角或其補(bǔ)角，
∵E、F分別是棱A₁D₁，A₁B₁的中點，D（0，0，0），E（1，0，2），F(xiàn)（2，1，2），C₁（0，2，2）
∴

DE

=(1，0，2)，

FC1

=(-2，1，0)
∴cosα=|

. DE • . FC1

| . DE || . FC1 |

|=|

-2

5 5

|=

2

5

（II）由題意，

DE

=(1，0，2)，

DB

=(2，2，0)
設(shè)面EFBD的法向量為

n

=(x，y，1)
由

DE • n =0 DB • n =0

，得

n

=(-2，2，1)
又

BC1

=(-2，0，2)
記BC₁和面EFBD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=|

BC1 • n

| BC1 || n |

|=

2

2

∴BC₁和面EFBD所成的角為

π

4

．
（III）點B₁到面EFBD的距離d等于向量

BB1

在面EFBD的法向量上的投影的絕對值，
∵B（2，2，0），B₁（2，2，2），∴

BB1

=(0，0，2)
∵

n

=(-2，2，1)
∴d=

| BB1 • n|

|n|

=

|2|

4+4+1

=

2

3

．

點評：本題考查空間角，考查點到面的距離的計算，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．