Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c中，a+b+c=0，a＞b＞c．
（1）證明函數(shù)f（x）有兩個不同的零點(diǎn)；
（2）若存在x∈R，使ax²+bx+a+c=0成立．
①試判斷f（x+3）的符號，并說明理由；
②當(dāng)b≠0時，證明關(guān)于x的方程ax²+bx+a+c=0在區(qū)間（$\frac{c}{a}$，0），（0，1）內(nèi)各有一個實(shí)根．

Answer 1

分析 （1）由a+b+c=0，a＞b＞c，得出a＞0，c＜0．∴△=b²-4ac＞0，即得出結(jié)論；
（2）由a+b+c=0得f（1）=0，再由根與系數(shù)關(guān)系得f（$\frac{c}{a}$）=0，由ax²+bx+a+c=0有解得b²-4a（a+c）≥0，即b²≥-4ab．然后分b≥0和b＜0兩種情況進(jìn)行討論；
①根據(jù)x+3與f（x）=0的根的大小關(guān)系分三種情況討論；
②根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理判斷即可．

解答 解：（1）∵a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
∴△=b²-4ac＞0．
∴f（x）有兩個不同的零點(diǎn)．
（2）設(shè)f（x）=0的兩根分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
∵a+b+c=0，
∴f（1）=0，
∴x₁=$\frac{c}{a}$，x₂=1．
∴f（x）圖象的對稱軸$\frac{c}{a}$＜$-\frac{2a}$＜1
∵存在x∈R，使ax²+bx+a+c=0成立，
∴b²-4a（a+c）≥0，
即b²≥-4ab．
若b＜0，則b≤-4a，∴-$\frac{2a}$≥2，矛盾；
若b≥0，則b²≥-4ab恒成立，
綜上，b≥0．
①∵f（x）圖象開口向上，f（x）=0的兩解為x₁=$\frac{c}{a}$，x₂=1．
∴當(dāng)x+3＜$\frac{c}{a}$或x+3＞1即x＜$\frac{c}{a}$-3或a＞-2時，f（x）＞0；
當(dāng)$\frac{c}{a}$＜x+3＜1即$\frac{c}{a}$-3＜x＜-2時，f（x）＜0；
當(dāng)x+3=$\frac{c}{a}$或x+3=1即x=$\frac{c}{a}$-3或x=-2時，f（x）=0．
②若b≠0，則b＞0．
令g（x）=ax²+bx+a+c，
則g（x）圖象在R上連續(xù)．
g（$\frac{c}{a}$）=$\frac{{c}^{2}+bc}{a}-b$=-c-b=a＞0，
g（0）=a+c=-b＜0，
g（1）=a+b+c+a=a＞0，
∴g（x）在區(qū)間（$\frac{c}{a}$，0），（0，1）內(nèi)各有一個零點(diǎn)．
即關(guān)于x的方程ax²+bx+a+c=0在區(qū)間（$\frac{c}{a}$，0），（0，1）內(nèi)各有一個實(shí)根．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)零點(diǎn)與系數(shù)的關(guān)系，二次不等式的解法及零點(diǎn)存在性定理．