Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2cos2

A-B

2

cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-

3

5

．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=4

2

，b=5，求角B、邊c的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數(shù)的降冪公式和誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)題中等式得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-

3

5

，再利用兩角和的正弦公式得cos[(A-B)+B]=-

3

5

，即得cosA的值；
（II）由同角三角函數(shù)關(guān)系算出sinA=

4

5

，再根據(jù)正弦定理得出sinB=

bsinA

a

=

2

2

，結(jié)合題意算出B=

π

4

．最后根據(jù)余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子加以計(jì)算，即可得到邊c的值．

解答：解：（I）由2cos2

A-B

2

cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-

3

5

，
得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-

3

5

，…（3分）
即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-

3

5

，可得cos[(A-B)+B]=-

3

5

，
即cosA=-

3

5

．…（6分）
（II）由cosA=-

3

5

，0＜A＜π，得sinA=

4

5

，
根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得sinB=

bsinA

a

=

2

2

．
由題意a＞b，則A＞B，故B=

π

4

．…（9分）
再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
(4

2

)2=52+c2-2×5c×(-

3

5

)，解之得c=1（c=-7舍去）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了三角函數(shù)恒等變換公式、正弦定理、余弦定理和三角形大角對(duì)大邊等知識(shí)，屬于中檔題．