Question

已知一非零向量列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=（1，1），a_n=（x_n，y_n）=
（1）證明：{|a_n|}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)θ_n=＜a _n-1，a_n＞（n≥2），b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）設(shè)c_n=|a_n|log₂|a_n|，問(wèn)數(shù)列{c_n}中是否存在最小項(xiàng)？若存在，求出最小項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用向量模的計(jì)算公式得出的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)得出=利用等比數(shù)列定義判定是等比數(shù)列．
（2）根據(jù)向量夾角公式可以求出θ_n=，b_n=2nθ_n-1=．分組后結(jié)合等差數(shù)列求和公式計(jì)算．
（3）由上可得出c_n=•，可利用作商法研究數(shù)列{c_n}的單調(diào)性，確定最小項(xiàng)存在與否．
解答：解：（l）證明：=
==（n≥2）又= 
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．…（4分）
（2）∵===²
∴cosθ_n==，∴θ_n=，∴b_n=2nθ_n-1=．
Sn=b₁+b₂+…+b_n==…（8分）
（3）假設(shè)存在最小項(xiàng)，不防設(shè)為cn，∵==，
∴c_n=|a_n|log₂|a_n|=•，由c_n≤c_n+1 得≤
即（2-n）≤1-n，∴（-1）n≥2-1．
∴n≥=3+，∵n為正整數(shù)，∴n≥5．
由c_n≤c_n-1 得n≤4+，n≤5．，∴n=5
 故存在最小項(xiàng)，最小項(xiàng)為c₅=…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，等比數(shù)列的判定，數(shù)列求和，向量數(shù)量積、夾角的計(jì)算，是數(shù)列與不等式的綜合．所涉及的知識(shí)、方法均為高中學(xué)段基本要求．