Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別是BC和CC₁的中點(diǎn)，已知AB=AC=AA₁=4，∠BAC=90°．
（1）求證：B₁D⊥平面AED；
（2）求二面角B₁-AE-D的余弦值；
（3）求三棱錐A-B₁DE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明B₁D⊥平面AED．
（2）求出平面B₁AE的法向量和平面AED的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-AE-D的余弦值．
（3）S△B1DE=

1

2

B1D×DE=10，A到平面B₁DE的距離AD=

1

2

16+16

=2

2

，由此能求出三棱錐A-B₁DE的體積．

解答： （1）證明：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，
AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得B₁（4，0，4），C（0，4，0），B（4，0，0），
D（2，2，0），A（0，0，0），E（0，4，2），

B1D

=（-2，2，-4），

AE

=（0，4，2），

AD

=（2，2，0），
設(shè)平面AED的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AE =4y+2z=0 n • AD =2x+2y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，2），
∴

B1D

∥

n

，∴B₁D⊥平面AED．
（2）解：

AB1

=（4，0，4），
設(shè)平面B₁AE的法向量

m

=（a，b，c），

m • AB1 =4a+4c=0 m • AE =4b+2c=0

，取a=2，得

m

=（2，1，-2），
又平面AED的法向量

n

=（1，-1，2），
∴|cos＜

n

，

m

＞|=|

2-1-4

9 × 6

|=

6

6

，
∴二面角B₁-AE-D的余弦值為

6

6

．
（3）解：∵B₁D⊥平面AED，
∴S△B1DE=

1

2

B1D×DE=

1

2

×

16+4

×

16+4

=10，
A到平面B₁DE的距離AD=

1

2

16+16

=2

2

，
∴三棱錐A-B₁DE的體積：
V=

1

3

×S△B1DE×AD=

1

3

×10×2

2

=

20 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．