設(shè)函數(shù)f（x）=（x2+3x+m）•e-x（其中m∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（I）若m=3，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（II）若函數(shù)f（x）在（-∞，0）上有兩個(gè)極值點(diǎn)．
①求實(shí)數(shù)m的范圍；     
②證明f（x）的極小值大于e．
（I）f'（x）=-（x2+x+m-3）•e-x
∵m=3
∴f（x）=（x2+3x+3）•e-x，f'（x）=-（x2+x）•e-x
∴f（0）=3，f′（0）=0
故曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為：y=3
（II）①由（I）知f'（x）=-（x2+x+m-3）•e-x，要使函數(shù)f（x）在（-∞，0）上有兩個(gè)極值點(diǎn)
只要方程g（x）=x2+x+m-3=0有兩個(gè)不等的負(fù)根
那么實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足
△＞0
m-3＞0
解得3＜m＜
13
4
，
②設(shè)兩負(fù)根為x1，x2且x1＜x2＜0，可知x=x1時(shí)有極小值f（x1）
由于對(duì)稱軸為x=-
1
2
，g（0）＞0，所以-1＜x1＜-
1
2
，且
x21
+x1+m-3=0得m=3-
x21
-x1，
∴f（x1）=（
x21
+3x1+m）•e-x1=（2x1+3）•e-x1，（-1＜x1＜-
1
2
）
令h（x）=（2x+3）•e-x
∵h(yuǎn)′（x）=（-1-2x）•e-x＞0，即h（x）在x∈（-1，-
1
2
）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（-1）=e
故f（x1）＞e
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個(gè)不同的根．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（一）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設(shè)0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數(shù)的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)m和t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江蘇省蘇州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設(shè)0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數(shù)的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)m和t的值．

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