Question

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n，都有f(m)·f(n)=f(m+n)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>1.

（1）證明：①f(0)=1；②當(dāng)x>0時(shí)，0<f(x)<1；③f(x)是R上的減函數(shù).

（2）如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，f(x²)·f(y²)≤f(Axy)恒成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

Answer 1

答案：
解析：

（1）證明：①在f(m)·f(n)=f(m+n)中，令m=n=0，得f(0)·f(0)=f(0+0)，即f(0)=f(0)·f(0). ∴f(0)=0或f(0)=1.若f(0)=0，則當(dāng)x<0時(shí)，有f(x)=f(x+0)=f(x)·f(0)=0，這與題設(shè)矛盾. ∴f(0)=1. ②當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，由已知得f(－1)>1.f(0)=f[x+(－x)]=f(x)·f(－x)， ∵f(0)=1，f(－1)>1，∴0<f(x)=<1，即x>0時(shí)，0<f(x)<1. ③任取x1<x2，則f(x1)=f(x1－x2+x2)=f(x1－x2)·f(x2). ∵x1－x2<0，∴f(x 1－x2)>1.又f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2). ∴y=f(x)在定義域R上為減函數(shù). （2）解：∵f(x2)·f(y2)≤f(Axy)，∴f(x2+y2)≤f(Axy). ∵f(x)是減函數(shù)，∴x2+y2≥Axy恒成立. （i）當(dāng)xy=0時(shí)，A可取任意實(shí)數(shù)； （ii）當(dāng)xy>0時(shí)，A≤，而≥2，∴只需A≤2. （iii）當(dāng)xy<0時(shí)，A≥，而≤－2，∴只需A≥－2. 綜上所述，滿足題設(shè)要求的A的取值范圍是－2≤A≤2.