【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)的圖象在點處的切線與軸垂直,求的極值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(Ⅰ)極小值為0,無極大值(Ⅱ)當或時,函數(shù)在上有一個零點;當或時,函數(shù)在上有兩個零點
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)條件可知,解得,,然后求函數(shù)的導數(shù),
根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并求函數(shù)的極值;(Ⅱ)分 四種情況討論函數(shù)的單調(diào)性,和零點存在性定理討論函數(shù)的零點個數(shù).
(Ⅰ)由得 ,
所以,所以,
所以.
當時,,函數(shù)單調(diào)遞減;
當時, ,函數(shù)單調(diào)遞增,
所以時,函數(shù)的極小值為,無極大值
(Ⅱ) .
(i)當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減.
因為,所以函數(shù)在上有一個零點
(ii)當時,
①若 ,則,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在處取得極小值。
因為,所以
又因為 ,
由,可得 ,
所以函數(shù)在上也有一個零點,所以函數(shù)在上共有兩個零點
②若 ,由(I)可知,函在上只有一個零
③若,則,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)在 處取得極小值.
因為,所以
因為 ,
記,所以 ,
由,可得當時,,所以單調(diào)遞增,
所以 ,
所以函數(shù)在上存在一個零點,即此時函數(shù)在上共有兩個零點
綜上所述,當或時,函數(shù)在上有一個零點;當或時,函數(shù)在上有兩個零點
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【題目】無窮數(shù)列、、滿足:,,,,記(表示3個實數(shù)、、中的最大數(shù)).
(1)若,,,求數(shù)列的前項和;
(2)若,,,當時,求滿足條件的的取值范圍;
(3)證明:對于任意正整數(shù)、、,必存在正整數(shù),使得,,.
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【題目】已知直角梯形的下底與等腰直角三角形的斜邊重合,且(如圖(1)所示),將此圖形沿折疊成直二面角,連接,,得到四棱錐(如圖(2)所示).
(1)線段上是否存在點,使平面?若存在,求出;若不存在,說明理由;
(2)在(1)的條件下,求平面與平面的夾角的余弦值.
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【題目】某種商品原來毎件售價為25元,年銷售8萬件.
(1)據(jù)市場調(diào)查,若價格毎提高1元,銷售量將相應瑊少2000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價最多為多少?
(2)為了擴大商品的影響力,提高年銷售量,公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革,并提高價格到元,公司擬投入萬元作為技改費用,投入50萬元作為固定宣傳費用,試問:該商品明年的銷售量至少達到多少萬件時,才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時每件商品的定價.
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【題目】對于直線與拋物線,若與有且只有一個公共點且與的對稱軸不平行(或重合),則稱與相切,直線叫做拋物線的切線.
(1)已知是拋物線上一點,求證:過點的的切線的斜率;
(2)已知為軸下方一點,過引拋物線的切線,切點分別為,.求證:成等差數(shù)列;
(3)如圖所示,、是拋物線上異于坐標原點的兩個不同的點,過點的的切線分別是,直線交于點,且與軸分別交于點.設為方程的兩個實根,表示實數(shù)中較大的值.求證:“點在線段上”的充要條件是“”.
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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為,,離心率為,過的直線與橢圓交于,兩點,且的周長為8.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓分別交于,兩點,且,試問點到直線的距離是否為定值,證明你的結論.
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【題目】某市環(huán)保部門對市中心每天的環(huán)境污染情況進行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與時刻(時)的關系為,,其中是與氣象有關的參數(shù),且.若用每天的最大值為當天的綜合污染指數(shù),并記作.
(1)令,,求的取值范圍;
(2)求的表達式,并規(guī)定當時為綜合污染指數(shù)不超標,求當在什么范圍內(nèi)時,該市市中心的綜合污染指數(shù)不超標.
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【題目】在5件產(chǎn)品中,有3件一等品和2件二等品,從中任取2件,以為概率的事件是( )
A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品
C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品
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【題目】某電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了名觀眾進行調(diào)查,如圖是根據(jù)調(diào)查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖,將日均收看該體育節(jié)目時間不低于分鐘的觀眾稱為體育迷.
(1)若日均收看該體育節(jié)目時間在內(nèi)的觀眾中恰有兩名女性,現(xiàn)日均收看時間在內(nèi)的觀眾中抽取兩名進行調(diào)查,求這兩名觀眾恰好一男一女的概率;
(2)若抽取人中有女性人,其中女體育迷有人,完成答題卡中的列聯(lián)表并判斷能否在犯錯誤概率不超過的前提下認為體育迷與性別有關系?
非體育迷 | 體育迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | |||
合計 |
附表及公式:,
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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