Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求的值；

（2）證明： 為上的增函數(shù)；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ； (2)見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據奇函數(shù)的定義，取x=1，得f（1）+f（﹣1）=0，解之得a=2，再經過檢驗可得當a=2時，f（x）+f（﹣x）=0對x∈R恒成立，所以f（x）是奇函數(shù)；（2）令t=2x，得，再用單調性的定義，證出當x1∈R，x2∈R且x1＜x2時，y1﹣y2=，討論可得y1＜y2，所以f（x）在R上是增函數(shù)；（3）因為f（x）是奇函數(shù)，并且在R上是增函數(shù)，所以原不等式對任意的x∈R恒成立，即mx2+1＞mx﹣1對任意的x∈R恒成立，化簡整理得關于m的一元二次不等式，最后經過分類討論，可得實數(shù)m的取值范圍為0≤m＜8．

試題解析：

（1）∵函數(shù)是奇函數(shù)，

∴，

可得，解之得： ，

檢驗： 時， ，

∴

∴對恒成立，即是奇函數(shù).

∴

（2）證明：令，則

設， ，且，∵在上是增函數(shù)，∴，

當時，∴ ， ， ，∴，可得在上是增函數(shù).

（3）∵是奇函數(shù)，

∴不等式等價于

∵在上是增函數(shù)，

∴對任意的，原不等式恒成立，即對任意恒成立，

化簡整理得： 對任意恒成立，

（1）當時，不等式即為恒成立，符合題意；

（2）當時，有，即，

綜上所述：可得實數(shù)的取值范圍為.