Question

直線4x-3y-12=0與x、y軸的交點分別為A、B，O為坐標(biāo)原點，則△AOB內(nèi)切圓的方程為

1. A.
   （x-1）²+（y+1）²=1
2. B.
   （x-1）²+（y-1）²=1
3. C.
   （x-1）²+（y+1）²=
4. D.
   （x-1）²+（y+1）²=2

Answer 1

A
分析：根據(jù)題意畫出三角形AOB的內(nèi)切圓，如圖所示，由圓F與x軸和y軸都相切，設(shè)出圓F的半徑為r，進(jìn)而寫出圓心F的坐標(biāo)，根據(jù)直線AB與圓F相切，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，利用點到直線的距離公式表示出d，讓d等于r列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到半徑r的值，進(jìn)而得到圓心F的坐標(biāo)，根據(jù)求出的圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程即為△AOB內(nèi)切圓的方程．
解答：
解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：⊙F為△AOB的內(nèi)切圓，
設(shè)⊙F的半徑為r，所以圓心F的坐標(biāo)為（r，-r），又⊙F與直線AB相切，
∴圓心F到直線的距離d==r，解得r=1或r=6（舍去），
∴圓心F的坐標(biāo)為（1，-1），半徑為1，
則△AOB內(nèi)切圓的方程為（x-1）²+（y+1）²=1．
故選A
點評：此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時滿足的關(guān)系，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，會根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．設(shè)出內(nèi)切圓的半徑表示出圓心F的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．