Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，且，點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn).

（1）求證：平面AEC；

（2）求證：平面PCD；

（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OE．可得PB∥OE，再由線面平行的判定可得PB∥平面AEC；

（2）由PA=AD，E為線段PD的中點(diǎn)，得AE⊥PD，再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，由線面垂直的判定可得AE⊥平面PCD；

（3）根據(jù)AE⊥平面PCD，結(jié)合三棱錐的體積公式求出其體積即可．

(1)證明：連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OE，

如圖示：

∵O是正方形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)，∴O為BD的中點(diǎn)，

由已知E為線段PD的中點(diǎn),∵PB∥OE，

又OE平面AEC，PB平面AEC，

∴PB∥平面AEC；

(2)證明：∵PA=AD，E為線段PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

在正方形ABCD中，CD⊥AD，又PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，又AE平面PAD，

∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，

∴AE⊥平面PCD；

(3)由平面ABCD，，點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn)，

∴為等腰直角三角形，，

底面ABCD是正方形，CD=3，

∵AE⊥平面PCD，

故三棱錐APCE的體積：

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