Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈R，
（1）y=f（x-2）與y-f（2-x）的圖象關(guān)于直線 x=2對稱；
（2）有下列4個命題：
①若f（1+2x）=f（1-2x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
②f（2x+5）=f（2x）則5是y=f（x）的周期；
③若f（x）為偶函數(shù)，且f（2+x）=-f（x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
④若f（x）為奇函數(shù)，且f（x）=f（-x-2），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
其中正確的命題為_

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對于y=f（x-2）與y-f（2-x）的圖象關(guān)于直線 x=2對稱；后一個表達式有點錯誤，應(yīng)該是y=f（2-x），是個正確的結(jié)論對于（2）中的①，利用換元法，以及對稱的定義證明對于②，利用換元法和周期的定義，對于③④，分別利用奇偶性的定義證明．

解答： 解：對于①，令2x=t，則f（1+2x）=f（1-2x）化為f（1+t）=f（1-t），
設(shè)M（x，y）是y=f（x）上任意一點，則M′（2-x，y）是M關(guān)于直線x=1的對稱點，
所以f（2-x）=f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]=f（x）=y，所以M′（2-x，y）在函數(shù)
y=f（x）上，因此函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=1對稱，①是正確的．
對于②，f（2x+5）=f（2x），令2x=t，則f（2x+5）=f（2x）化為
f（t+5）=f（t），即f（x+5）=f（x），所以5是函數(shù)的周期，②是正確的
對于③，因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），又因為f（2+x）=-f（x），
所以f（4+x）=f（2+2+x）=-f（2+x）=f（x）=f（-x），由②的結(jié)論，
而

4+x+(-x)

2

=2，所以x=2是函數(shù)的對稱軸．③是正確的．
對于④，因為f（x）=f（-x-2），所以，x=

x+(-x-2)

2

=-1是對稱軸，
又因為f（x）為奇函數(shù)，所以x=1是對稱軸，④是正確的
故答案：①②③④

點評：本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，反復(fù)使用函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵