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【題目】已知函數.

（1）當時，討論函數的單調性.

（2）當時，證明：對任意的，有.

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析；

【解析】

（1）求出原函數的導函數，對分類求解原函數的單調區(qū)間；

（2）利用分析法證明，把要證的不等式轉化為證明成立，即證．令，，由導數求出的最大值和的最小值，由的最大值小于的最小值得答案．

（1）解：由定義域為，得

，

當時，，

當時，，為增函數，當時，，為減函數；

當時，，二次方程有兩根，，，

當時，，為增函數，當時，，為減函數．

綜上可得，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；

當時，在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）證明：要證，

即證，

即，

，，

也就是證，

即證．

令，則，

當時，，為增函數，當時，，為減函數，

；

令，，

當時，，為減函數，當時，，為增函數，

，

成立，

故對任意的，有．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】年以來精準扶貧政策的落實，使我國扶貧工作有了新進展，貧困發(fā)生率由年底的下降到年底的，創(chuàng)造了人類減貧史上的的中國奇跡.“貧困發(fā)生率”是指低于貧困線的人口占全體人口的比例，年至年我國貧困發(fā)生率的數據如下表：

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

貧困發(fā)生率

10.2

8.5

7.2

5.7

4.5

3.1

1.4

（1）從表中所給的個貧困發(fā)生率數據中任選兩個，求兩個都低于的概率；

（2）設年份代碼，利用線性回歸方程，分析年至年貧困發(fā)生率與年份代碼的相關情況，并預測年貧困發(fā)生率.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

(的值保留到小數點后三位）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，側面為菱形，為的中點，為等腰直角三角形，，，且.

（1）證明：平面.

（2）求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 在點處的切線與直線平行，且函數有兩個零點.

（1）求實數的值和實數的取值范圍；

（2）記函數的兩個零點為，求證： （其中為自然對數的底數）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，己知圓，且圓被直線截得的弦長為2.

（1）求圓的標準方程；

（2）若圓的切線在軸和軸上的截距相等，求切線的方程；

（3）若圓上存在點，由點向圓引一條切線，切點為，且滿足，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設分別是橢圈的左、右焦點，是橢圓上第二象限內的一點且與軸垂直，直線與橢圓的另一個交點為.

（1）若直線的斜率為，求橢圓的離心率；

（2）若直線與軸的交點為，且求.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某調研機構，對本地歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，將生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，結果顯示，有人為“低碳族”，該人的年齡情況對應的頻率分布直方圖如圖.

（1）根據頻率分布直方圖，估計這名“低碳族”年齡的平均值，中位數；

（2）若在“低碳族”且年齡在、的兩組人群中，用分層抽樣的方法抽取人，試估算每個年齡段應各抽取多少人？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知動點P到兩定點M（﹣3，0），N（3，0）的距離滿足|PM|＝2|PN|.

（1）求證：點P的軌跡為圓；

（2）記（1）中軌跡為⊙C，過定點（0，1）的直線l與⊙C交于A，B兩點，求△ABC面積的最大值，并求此時直線l的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】甲船在島A的正南B處，以的速度向正北航行，，同時乙船自島A出發(fā)以的速度向北偏東60°的方向駛去，當甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間為（ ）

A. B. C. D.

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