Question

設(shè)無窮等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求所有的無窮等差數(shù)列{a_n}，使得對于一切正整數(shù)k都有Sk3=(Sk)3成立．

Answer 1

分析：先由k=1，k=2時(shí)，確定首項(xiàng)和公差，再驗(yàn)證每一組解是否符合題意，從而可以找到符合題意的數(shù)列

解答：解：若等差數(shù)列{a_n}滿足Sk3=(Sk)3
則當(dāng)k=1時(shí)，有s₁=s₁³，∴a₁=0或a₁=1或a₁=-1
當(dāng)k=2時(shí)，有s₈=s₂ ³，即8a1+

8×7

2

d=(2a1+d)3
（1）當(dāng)a₁=0時(shí)，代入上式得d=0或d=2

7

或d=-2

7

①當(dāng)a₁=0，d=0時(shí)，a_n=0，S_n=0
滿足Sk3=(Sk)3
此時(shí)，數(shù)列{a_n}為：0，0，0…
②當(dāng)a1=0，d=2

7

時(shí)，an=2

7

(n-1)，Sn=

2 7 n(n-1)

2

=

7

n(n-1)
S27≠(S3)3
∴不滿足題意
③當(dāng)a1=0，d=-2

7

時(shí)，an=-2

7

(n-1)，Sn=

-2 7 n(n-1)

2

= -

7

n(n-1)
S27≠(S3)3
∴不滿足題意
（2）當(dāng)a₁=1時(shí)，代入上式得d=0或d=2或d=-8
①當(dāng)a₁=1，d=0時(shí)，a_n=1，S_n=n
滿足Sk3=(Sk)3
此時(shí)，數(shù)列{a_n}為：1，1，1…
②當(dāng)a₁=1，d=2時(shí)，a_n=2n-1，Sn=n2
滿足Sk3=(Sk)3
此時(shí)，數(shù)列{a_n}為：1，3，5…
③當(dāng)a₁=1，d=-8時(shí)，a_n=-8n+9，S_n=n（5-4n）
S27≠(S3)3
∴不滿足題意
（3）當(dāng)a₁=-1時(shí)，代入上式得d=0或d=-2或d=8
①當(dāng)a₁=-1，d=0時(shí)，a_n=-1，S_n=-n
滿足Sk3=(Sk)3
此時(shí)，數(shù)列{a_n}為：-1，-1，-1…
②當(dāng)a₁=-1，d=-2時(shí)，a_n=-2n+1，Sn=-n2
滿足Sk3=(Sk)3
此時(shí)，數(shù)列{a_n}為：-1，-3，-5…
③當(dāng)a₁=-1，d=8時(shí)，a_n=8n-9，S_n=n（4n-5）
S27≠(S3)3
∴不滿足題意
∴滿足題意的等差數(shù)列{a_n}有：
①0，0，0…
②1，1，1…
③1，3，5…
④-1，-1，-1…
⑤-1，-3，-5…

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算，要注意分類討論．屬中檔題