已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓T經(jīng)過P(1，
6
3
)，Q(
2
，
3
3
)．
（I）求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）橢圓T上是否存在點(diǎn)E（m，n）使得直線l：x=my+n交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且
OM
•
ON
=0？若存在求出點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在說明理由．
分析：（I）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，將坐標(biāo)代入方程，即可求得橢圓的方程；
（II）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及
OM
•
ON
=0，即可求得結(jié)論．
解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）
將坐標(biāo)代入方程，得
m+
2
3
n=1
2m+
1
3
n=1
，∴
m=
1
3
n=1
，
∴橢圓的方程為
x2
3
+y2=1…（4分）
（II）聯(lián)立方程
x2+3y2=3
x=my+n
，消去x可得（m2+3）y2+2mny+n2-3=0，
設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2）
∴y1+y2=
-2mn
m2+3
，y1y2=
n2-3
m2+3
…（6分）
∴
OM
•
ON
=x1x2+y1y2=0，即y1y2+（my1+n）（my2+n）=0
所以(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=0，
將韋達(dá)代入上式，化簡得：4n2=3（m2+1）①…（8分）
又點(diǎn)E（m，n）在橢圓上，∴
m2
3
+n2=1，∴n2=1-
m2
3
②
由①②得m2=
3
13
，n2=
12
13
，
所以E(±
3
13
，±
12
13
)…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓軛標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上橢圓，離心率為
6
3
，且過點(diǎn)A（1，1）
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Π）如圖，B為橢圓右頂點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)C與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)A作兩條直線交橢圓P、Q（異于A、B），交x軸與P'，Q'，若|AP'|=|AQ'|，求證：存在實(shí)數(shù)λ，使得
PQ
=λ
BC
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E過點(diǎn)（0，1），離心率為
2
2
．
（I）求橢圓E的方程；
（II）若直線l過橢圓E的左焦點(diǎn)F，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，直線BC與x軸交于點(diǎn)M，當(dāng)△MAF的面積為
1
2
，求△MAC的內(nèi)切圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆四川省綿陽市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題 題型：解答題

如圖，已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)（，），且它的左焦點(diǎn)F1將長軸分成2∶1，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)．

    （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

    （2）設(shè)P是橢圓上不同于左右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，延長F1P至Q，使Q、F2關(guān)于∠F1PF2的外角平分線l對(duì)稱，求F2Q與l的交點(diǎn)M的軌跡方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上橢圓，離心率為數(shù)學(xué)公式，且過點(diǎn)A（1，1）
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）如圖，B為橢圓右頂點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)C與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)A作兩條直線交橢圓P、Q（異于A、B），交x軸與P'，Q'，若|AP'|=|AQ'|，求證：存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)學(xué)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年云南省昆明市高三復(fù)習(xí)適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E過點(diǎn)（0，1），離心率為．
（I）求橢圓E的方程；
（II）若直線l過橢圓E的左焦點(diǎn)F，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，直線BC與x軸交于點(diǎn)M，當(dāng)△MAF的面積為，求△MAC的內(nèi)切圓方程．

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