Question

若某三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且其側(cè)棱長均為2

3

，則這個(gè)三棱錐的外接球的體積為

36π

．

Answer 1

分析：三棱錐設(shè)為S-ABC的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，轉(zhuǎn)化為三條側(cè)棱兩兩互相垂直，該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均為棱長為2 

3

的正方體的頂點(diǎn)，通過正方體的對角線的長度，求出外接球半徑，即可求解球的體積．

解答：解：三棱錐設(shè)為S-ABC，側(cè)面SAB、側(cè)面SAC、側(cè)面SBC兩兩垂直，
所以三棱錐其側(cè)棱長均為2

3

，所以三棱錐是正三棱錐，
正三棱錐S-ABC的外接球即為棱長為2

3

的正方體的外接球．
則外接球的直徑2R=2

3

•

3

=6，所以外接球的半徑為：3．
故正三棱錐S-ABC的外接球的體積=

4

3

•πR³=36π．
故答案為：36π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中根據(jù)已知結(jié)合正方體的幾何特征，得到該正三棱錐是正方體的一部分，并將問題轉(zhuǎn)化為求正方體外接球的體積，是解答本題的關(guān)鍵．