如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1與它的側(cè)視圖(或稱左視圖),E是DD1上一點,AE⊥B1C.
(1)求證AE⊥平面B1CD;
(2)求三棱錐E-ACD的體積.
分析:(1)要證AE⊥平面B1CD,由ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,可知CD⊥ADD1A1,則CD⊥AE,結(jié)合AE⊥B1C,即可證
(2)由AE⊥平面B1CD,可得AE⊥B1C,進(jìn)而可得AE⊥A1D,則可得△ADE∽△A1AD,有
AD
DE
=
AA 1
AD
,從而可求DE,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,DE是三棱錐E-ACD的高,代入三棱錐E-ACD的體積VE-ACD=
1
3
×
1
2
×AD×CD×DE
可求
解答:證明:(1)因為ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,所以CD⊥平面ADD1A1…(2分)
AE?平面ADD1A1,所以CD⊥AE…(3分)
因為AE⊥B1C,CD∩B1C=C,所以AE⊥平面B1CD…(5分)
解:(2)連接A1D,因為AE⊥B1CD,所以AE⊥B1C…(6分),
因為A1D∥B1C
所以AE⊥A1D…(7分)
所以△ADE∽△A1AD…(8分),所以
AD
DE
=
AA 1
AD
…(9分)
因為AD=2,AA1=4
所以,DE=
AD2
AA1
=
2×2
4
=1
(10分)
因為ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,所以DE是三棱錐E-ACD的高…(11分),
所以三棱錐E-ACD的體積VE-ACD=
1
3
×
1
2
×AD×CD×DE
=
1
3
×
1
2
×2×2
×1=
2
3
…(13分).
點評:本題考查證明線面垂直的判定定理的應(yīng)用,三棱錐的體積的求解,其中根據(jù)三視圖中的左視圖得到正四棱錐的相關(guān)數(shù)據(jù)是求解的關(guān)鍵
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精英家教網(wǎng)如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,點E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC與底面ABCD所成的角為45°,AB=a.
(1)求截面EAC的面積;
(2)求異面直線A1B1與AC之間的距離;
(3)求三棱錐B1-BAC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面邊長為3,側(cè)棱長為4,連接A1B,過A作AF⊥A1B垂足為F,且AF的延長線交B1B于E.
(1)求證:D1B⊥平面AEC;
(2)求二面角B-AE-C的平面角的正切值.

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如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,點E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC與底面ABCD所成的角為45°,AB=a.
(1)求截面EAC的面積;
(2)求異面直線A1B1與AC之間的距離;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:1999年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,點E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC與底面ABCD所成的角為45°,AB=a.
(1)求截面EAC的面積;
(2)求異面直線A1B1與AC之間的距離;
(3)求三棱錐B1-BAC的體積.

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