Question

【題目】已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切，圓．過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）是定值．

【解析】

試題（1）先利用拋物線的定義求出點的橫坐標(biāo)，然后將點的橫坐標(biāo)代入拋物線的方程并結(jié)合點所在的象限得到點的坐標(biāo)，先計算出的長度，然后利用雙曲線的定義計算出的值，由確定的值，從而得到雙曲線的方程；（2）對直線的斜率存在與否分兩種情況討論，對直線的斜率不存在時進(jìn)行驗證，在直線的斜率存在時，先假設(shè)直線的方程，然后根據(jù)直線與的位置關(guān)系得到直線的方程，并求出圓心到兩直線的距離，根據(jù)圓的半徑長、直線截圓的弦長和圓心距三者之間的關(guān)系求出兩直線截圓的弦長、，并進(jìn)行驗證是否為定值.

試題解析：（1）∵拋物線的焦點為，

∴雙曲線的焦點為、， 1分

設(shè)在拋物線上，且，

由拋物線的定義得，，∴，∴，∴， 3分

∴， 4分

又∵點在雙曲線上，由雙曲線定義得：

，∴， ∴雙曲線的方程為：． 6分

（2）為定值．下面給出說明．

設(shè)圓的方程為：， ∵圓與直線相切，

∴圓的半徑為，故圓：． 7分

顯然當(dāng)直線的斜率不存在時不符合題意， 8分

設(shè)的方程為，即，

設(shè)的方程為，即，

∴點到直線的距離為，

點到直線的距離為， 10分

∴直線被圓截得的弦長， 11分

直線被圓截得的弦長， 12分

∴， 故為定值． 14分