【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足
,
,
,記數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,則對(duì)任意
,則①數(shù)列
單調(diào)遞增;②
;③
;④
.上述四個(gè)結(jié)論中正確的是______.(填寫(xiě)相應(yīng)的序號(hào))
【答案】①②③
【解析】
先證明當(dāng)時(shí),總有
,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明
,最后再利用導(dǎo)數(shù)
及
均成立,從而可得正確的選項(xiàng).
先證明一個(gè)性質(zhì):當(dāng)時(shí),總有
(★).
證明:令,其中
,
,
為
上的減函數(shù),
因,
,故
在
存在唯一的零點(diǎn)
.
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
,
故在
為增函數(shù),在
為減函數(shù),
因,故當(dāng)
時(shí),總有
即
,
從而性質(zhì)得證.
令,由已證性質(zhì)則有
,
故對(duì)任意的
恒成立.
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),總有
因?yàn)?/span>,所以
成立.
設(shè)當(dāng)時(shí),
,因
,故
即
,
所以時(shí),也有
成立,
由數(shù)學(xué)歸納法可知:對(duì)任意的,總有
.
由性質(zhì)★可得即
,故數(shù)列
單調(diào)遞增,所以①正確.
令,其中
.
則,
在
為減函數(shù)且
,
所以在
為減函數(shù),
所以當(dāng)時(shí),有
即
,
所以即
,整理得到:
,其中
故
,
累加后可得即
,故②正確.
令,其中
則,
在
為減函數(shù),
而,
,
所以在
存在一個(gè)零點(diǎn)
,
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
,
故在
為增函數(shù),在
為減函數(shù),
而,所以當(dāng)
時(shí),
恒成立,
所以在
上恒成立.
故當(dāng)時(shí),總有
成立即
成立,故③正確.
因?yàn)?/span>,故
即
,
因?yàn)?/span>,由累乘可得
,
整理得到,
當(dāng)時(shí),則有
,
故,此時(shí)有
,故④不成立.
綜上,四個(gè)結(jié)論中正確的是①②③.
故答案為:①②③.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,傾斜角
,在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系
取相同的長(zhǎng)度單位,以原點(diǎn)
為極點(diǎn),以
軸正半軸為極軸)中,圓
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)寫(xiě)出直線的參數(shù)方程,并把圓
的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)與圓
相交于
、
兩點(diǎn),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,
,
,
.過(guò)
的中點(diǎn)
的動(dòng)直線
與線段
交于點(diǎn)
.將
沿直線
向上翻折至
,使得點(diǎn)
在平面
內(nèi)的投影
落在線段
上.則點(diǎn)
的軌跡長(zhǎng)度為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點(diǎn)
是線段
上的動(dòng)點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.無(wú)論點(diǎn)在
上怎么移動(dòng),都有
B.當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)至
中點(diǎn)時(shí),才有
與
相交于一點(diǎn),記為點(diǎn)
,且
C.無(wú)論點(diǎn)在
上怎么移動(dòng),異面直線
與
所成角都不可能是
D.當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)至
中點(diǎn)時(shí),直線
與平面
所成角最大且為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面四邊形中,
,
是
上的一點(diǎn),
是
的中點(diǎn),以
為折痕把
折起,使點(diǎn)
到達(dá)點(diǎn)
的位置,且
.
(1)證明:平面平面
;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)、
是兩個(gè)不同的平面,點(diǎn)
、
,
、
,下列命題中正確的是( )
A.若,
,則
,
B.若,
,則
,
C.若,
,
,則
、
,
D.若,
,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年10月1日,是中華人民共和國(guó)成立70周年紀(jì)念日.70年砥礪奮進(jìn),70年波瀾壯闊,感染、激勵(lì)著一代又一代華夏兒女,為祖國(guó)的繁榮昌盛努力拼搏,奮發(fā)圖強(qiáng).為進(jìn)一步對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)教育,某校社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組,在老師的指導(dǎo)下,從學(xué)校隨機(jī)抽取四個(gè)班級(jí)160名同學(xué)對(duì)這次國(guó)慶閱兵受到激勵(lì)情況進(jìn)行調(diào)查研究,記錄的情況如下圖:
(1)如果從這160人中隨機(jī)選取1人,此人非常受激勵(lì)的概率和此人是很受激勵(lì)的女同學(xué)的概率都是,求
的值;
(2)根據(jù)“非常受激勵(lì)”與“很受激勵(lì)”兩種情況進(jìn)行研究,判斷是否有的把握認(rèn)為受激勵(lì)程度與性別有關(guān).
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)在
處有極值,且
,則稱(chēng)
為函數(shù)
的“F點(diǎn)”.
(1)設(shè)函數(shù)(
).
①當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的極值;
②若函數(shù)存在“F點(diǎn)”,求k的值;
(2)已知函數(shù)(a,b,
,
)存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”
,
,且
,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長(zhǎng)社團(tuán),由課外活動(dòng)小組對(duì)高一學(xué)生文科、理科進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,問(wèn)卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問(wèn)卷成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),將數(shù)據(jù)按照,
,
,
,
分成5組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱(chēng)為“文科方向”學(xué)生,低于60分的稱(chēng)為“理科方向”學(xué)生.
|
(1)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)?
(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求
的分布列、期望
和方差
.
參考公式:,其中
.
參考臨界值:
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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