Question

【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則對(duì)任意，則①數(shù)列單調(diào)遞增；②；③；④．上述四個(gè)結(jié)論中正確的是______．（填寫(xiě)相應(yīng)的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

先證明當(dāng)時(shí)，總有，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，最后再利用導(dǎo)數(shù)及均成立，從而可得正確的選項(xiàng).

先證明一個(gè)性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，總有(★).

證明：令，其中，

，為上的減函數(shù)，

因，，故在存在唯一的零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

因，故當(dāng)時(shí)，總有即，

從而性質(zhì)得證.

令，由已證性質(zhì)則有，

故對(duì)任意的恒成立.

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，總有

因?yàn)?/span>，所以成立.

設(shè)當(dāng)時(shí)，，因，故即，

所以時(shí)，也有成立，

由數(shù)學(xué)歸納法可知：對(duì)任意的，總有.

由性質(zhì)★可得即，故數(shù)列單調(diào)遞增，所以①正確.

令，其中.

則，在為減函數(shù)且，

所以在為減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，有即，

所以即，整理得到：，其中

故

，

累加后可得即，故②正確.

令，其中

則，在為減函數(shù)，

而，，

所以在存在一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

而，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以在上恒成立.

故當(dāng)時(shí)，總有成立即成立，故③正確.

因?yàn)?/span>，故即，

因?yàn)?/span>，由累乘可得，

整理得到，

當(dāng)時(shí)，則有，

故，此時(shí)有，故④不成立.

綜上，四個(gè)結(jié)論中正確的是①②③.

故答案為：①②③.