Question

定義在R上的函數(shù)f （x）滿足：如果對任意x₁，x₂∈R，都有，則稱函數(shù)f （x）是R上的凹函數(shù)，已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），
（1）當(dāng)a=1時，試判斷函數(shù)f （x）是否為凹函數(shù)，并說明理由；
（2）如果函數(shù)f （x）對任意的x∈[0，1]時，都有|f（x）|≤1，試求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

解：（1）a=1時，函數(shù)f（x）是凹函數(shù)，
此時f（x）=x²+x，=（）²+（），[f（x₁）+f（x₂）]=[x₁²+x₁+x₂²+x₂]，
作差得到：²-[f（x₁）+f（x₂）]
=（）²+（）-（x₁²+x₂²）-（x₁+x₂）
=
==0，
即有[f（x₁）+f（x₂）]，
故知函數(shù)f（x）=x²+x為凹函數(shù)；
（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，
則有
i）若x=0時，則a∈R恒成立，
ii）若x∈（0，1]時，有
∵0＜x≤1?．
∴當(dāng)=1時，
所以0≥a≥-2．
分析：（1）先表示出函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)凹函數(shù)定義即可驗證．
（2）由|f（x）|≤1表示出關(guān)于a的不等式，再根據(jù)x的取值范圍進(jìn)行分析可得答案．
點評：本題是先給出新定義--凹函數(shù)，然后根據(jù)這個定義證明．這里主要考查學(xué)生接受新內(nèi)容快慢的能力．