Question

正四棱錐P-ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，E為PC中點(diǎn)，則直線AC與截面BDE所成的角為

45°

．

Answer 1

分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，求出個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，以及向量的坐標(biāo)，并計(jì)算出截面BDE的法向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求出＜

n

，

AC

＞即可得到結(jié)論
法二：直接利用線面角的定義找出線面角，利用定義即可求解

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)=2；
則O（0，0，0），B（

2

，O，0），D（-

2

，0，0），A（0，-

2

，0），C（0，

2

，0），P（0，0，

2

），E（0，

2

，2

，

2

，2

）．
∴

AC

=（0，2

2

，0），

BD

=（2

2

，0，0），

BE

=（-

2

，

2

2

，

2

2

）
設(shè)截面BDE的法向量為

n

=（x，y，z）；
由

n • BD =0 n • BE =0

⇒

- 2 x+ 2 2 y+ 2 2 z=0 2 2 x=0

⇒

n

=（0，1，-1）；
∴cos＜

n

，

AC

＞=

n • AC

| n |•| AC |

=

2

2

；
∴＜

n

，

AC

＞=45°．
故直線AC與截面BDE所成的角為90°-45°=45°．
故答案為：45°．
法二：過(guò)A做AM⊥平面BDE，垂足為 M，則∠AOM即為直線AC與平面BDE所成的角
設(shè)正四棱錐的楞長(zhǎng)為2，則S△BDE=

1

2

×2

2

×1=

2

，S△ABD=

1

2

×2×2=2
∴V_E-ABD=

1

3

S△BDA•

1

2

PO=

1

3

×2×

2

2

V_A-BDE=

1

3

×AM×S△BDE=

1

3

AM×

2

∵V_A-BDE=V_E-ABD
∴AM=1
Rt△AMO中，sin∠AOM=

AM

AO

=

1

2

=

2

2

∴∠AOM=45°
故答案為：45°

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察直線與平面所成的角．解決本題用到了空間向量，在用空間向量解決此類問(wèn)題時(shí)，一定要先求平面的法向量，進(jìn)而求出線面角．