Question

已知函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（x）＜0（x＞0），試判斷f（x）=

1

f(x)

在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明過程．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后，比較大小，從而得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)g(x)=

1

f(x)

為（0，+∞）上增函數(shù)，證明如下：
任設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵y=f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴f（x₁）＞f（x₂），f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，
g(x1)-g(x2)=

1

f(x1)

-

1

f(x2)

=

f(x2)-f(x1)

f(x1)f(x2)

，
∵f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∵f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，
∴f（x₁）•f（x₂）＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
∴g(x)=

1

f(x)

為（0，+∞）上的增函數(shù)．

點評：本題重點考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題，難度中等．