Question

已知函數(shù)．
（1）若是偶函數(shù)，在定義域上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當時，令，問是否存在實數(shù)，使在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)
(2)

試題分析：解:（1）是偶函數(shù)，即，  
又恒成立即
當時   
當時，，  
當時，， 
綜上：                 
（2）
是偶函數(shù)，要使在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)，即只要滿足在區(qū)間上是增函數(shù)在上是減函數(shù) ．
令，當時；時，由于時，
是增函數(shù)記，故與在區(qū)間上有相同的增減性，當二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，其對稱軸方程為．
點評：主要是考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性以及不等式的恒成立問題的綜合運用，屬于基礎(chǔ)題。