Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)、

的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn)，稱的最小值為點(diǎn)到

直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列三個(gè)命題：

① 對(duì)任意三點(diǎn)、、，都有；

② 已知點(diǎn)和直線，則；

③ 定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足（），

則點(diǎn)的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)；

其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】設(shè)，由題意可得：

同理可得： ,則：

，

命題①成立；

設(shè)點(diǎn)Q是直線y=2x-1上一點(diǎn)，且Q（x,2x-1），可得，

由，解得，即有，當(dāng)時(shí)取得最小值；

由，解得或，即有，

的范圍是，無(wú)最小值.

綜上可得，P,Q兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為.

說(shuō)法②正確.

定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足（），則：

，

顯然上述方程所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不妨設(shè)x≥0，y≥0.

(1)當(dāng)時(shí)，有，得： ；

(2)當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)無(wú)解；

(3)當(dāng)時(shí)，有；

則點(diǎn)P的軌跡是如圖所示的以原點(diǎn)為中心的兩支折線.

結(jié)合圖象可知，點(diǎn)的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)，命題③正確.

綜上可得命題①②③均正確，真命題的個(gè)數(shù)是3.

本題選擇D選項(xiàng).