Question

3．已知橢圓M的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，過(guò)M上一點(diǎn)$P（{1，\frac{3}{2}}）$的直線l₁，l₂與橢圓M分別交于不同于P的另一點(diǎn)A，B，設(shè)l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，且${k_1}•{k_2}=-\frac{3}{4}$．
（1）求橢圓M的方程；
（2）直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）直線PA的方程為：$y-\frac{3}{2}={k}_{1}（x-1）$，與橢圓方程聯(lián)立可得：$（3+4{k}_{1}^{2}）{x}^{2}$+$（12{k}_{1}-8{k}_{1}^{2}）$x+$4{k}_{1}^{2}$-12k₁-3=0，可得x_A，y_A．同理可得：x_B，y_B．直線AB的方程為：y-y_A=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$（x-x_A），令y=0，可得x為定值即可．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）直線PA的方程為：$y-\frac{3}{2}={k}_{1}（x-1）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{3}{2}={k}_{1}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
化為：$（3+4{k}_{1}^{2}）{x}^{2}$+$（12{k}_{1}-8{k}_{1}^{2}）$x+$4{k}_{1}^{2}$-12k₁-3=0，
∴x_A=$\frac{4{k}_{1}^{2}-12{k}_{1}-3}{3+4{k}_{1}^{2}}$，y_A=${k}_{1}（{x}_{A}-1）+\frac{3}{2}$=$\frac{9-12{k}_{1}}{6+8{k}_{1}^{2}}$．
同理可得直線PB的方程為：$y-\frac{3}{2}={k}_{2}（x-1）$，
同理可得：x_B=$\frac{4{k}_{2}^{2}-12{k}_{2}-3}{3+4{k}_{2}^{2}}$，y_B=$\frac{9-12{k}_{2}}{6+8{k}_{2}^{2}}$．
∴直線AB的方程為：y-y_A=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$（x-x_A），
令y=0，
化為：x=$\frac{{y}_{A}{x}_{B}-{y}_{B}{x}_{A}}{{y}_{A}-{y}_{B}}$=1．
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、直線的斜率計(jì)算公式與直線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．