Question

【題目】已知過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px（p>0）的焦點(diǎn)，斜率為2的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1<x2）兩點(diǎn)，且|AB|＝9．

（1）求該拋物線(xiàn)的方程．

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若，求λ的值

Answer 1

【答案】（1） y2＝8x （2）λ＝0或λ＝2．

【解析】

試題分析：（1）直線(xiàn)AB的方程與y2＝2px聯(lián)立，有，從而，再由拋物線(xiàn)定義得：|AB|=，求得p，則拋物線(xiàn)方程可得；（2）由p=4，求得．再求得設(shè)的坐標(biāo)，最后代入拋物線(xiàn)方程即可解得λ

試題解析：（1）直線(xiàn)AB的方程是，與y2＝2px聯(lián)立，

從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，

由拋物線(xiàn)定義得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，

所以p＝4，從而拋物線(xiàn)方程是y2＝8x．

（2）由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可簡(jiǎn)化為x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，

y1＝－2，y2＝4，從而A（1，－2），B（4，4）；

設(shè)O＝（x3，y3）＝（1，－2）＋λ（4，4）＝（4λ＋1，4λ－2），

又y32＝8x3，即[2 （2λ－1）]2＝8（4λ＋1），

即（2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．