Question

（本題滿分12分）、若函數(shù)y=f(x)是周期為2的偶函數(shù),當(dāng)x∈［2,3］時,f(x)=x－1.在y=f(x)的圖象上有兩點A、B,它們的縱坐標(biāo)相等,橫坐標(biāo)都在區(qū)間［1,3］上,
(1)求當(dāng)x∈［1,2］時,f(x)的解析式;
(2)定點C的坐標(biāo)為(0,a)(其中2<a<3),求△ABC面積的最大值.

Answer 1

(1)當(dāng)x∈［1,2］時,f(x)=f(x－2)=－(x－2)+1=－x+3.
(2)當(dāng)t=時,S_最大值=

本試題主要是考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的解析式以及函數(shù)的最值的綜合運(yùn)用。
（1）因為∵f(x)是以2為周期的周期函數(shù),當(dāng)x∈［2,3］時,f(x)=x－1,
∴當(dāng)x∈［0,1］時,f(x)=f(x+2)=(x+2)－1=x+1.
∵f(x)是偶函數(shù),∴當(dāng)x∈［－1,0］時,f(x)=f(－x)=－x+1,
當(dāng)x∈［1,2］時,f(x)=f(x－2)=－(x－2)+1=－x+3.
（2）利用條件可設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為3－t,t+1,1≤t≤2,則|AB|=(t+1)－(3－t)=2t－2，然后運(yùn)用坐標(biāo)表示三角形的面積。
(1)∵f(x)是以2為周期的周期函數(shù),當(dāng)x∈［2,3］時,f(x)=x－1,
∴當(dāng)x∈［0,1］時,f(x)=f(x+2)=(x+2)－1=x+1.
∵f(x)是偶函數(shù),∴當(dāng)x∈［－1,0］時,f(x)=f(－x)=－x+1,
當(dāng)x∈［1,2］時,f(x)=f(x－2)=－(x－2)+1=－x+3.
(2)設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為3－t,t+1,1≤t≤2,則|AB|=(t+1)－(3－t)=2t－2,∴△ABC的面積為S=(2t－2)·(a－t)=－t²+(a+1)t－a(1≤t≤2)=－(t－)²+
∵2<a<3,∴<<2.當(dāng)t=時,S_最大值=