Question

15．在△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC，sin²A=sin²B+sin²C-λsinBsinC．
（1）求角B的大小；
（2）若$λ=\sqrt{3}$，試判斷△ABC的形狀；
（3）若△ABC為鈍角三角形，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把題設等式中的邊換成角的正弦，進而利用兩角和公式化簡整理求得cosB的值，從而求得B．
（2）已知第二個等式利用正弦定理化簡得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出關(guān)系式及λ=$\sqrt{3}$代入求出cosA的值，即可確定出角C；
（3）表示出cosA，由三角形為鈍角三角形，分A為鈍角與C為鈍角兩種情況求出λ的范圍即可．

解答 解：（1）由題意，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．
∴2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，
化為：2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC，
∴2sinA•cosB=sin（B+C），
∵在△ABC中，sin（B+C）=sinA，
∴2sinA•cosB=sinA，得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$λ=\sqrt{3}$，可得：sin²A=sin²B+sin²C-$\sqrt{3}$sinBsinC，
∴化簡已知的等式得：a²=b²-$\sqrt{3}$bc+c²，即b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴根據(jù)余弦定理得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又A為三角形的內(nèi)角，
則A=$\frac{π}{6}$．可得：C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，可得△ABC的形狀為直角三角形．
（3）由（2）知，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{λ}{2}$，
如果角A為鈍角，即$\frac{π}{2}$＜A＜$\frac{2π}{3}$，則有-$\frac{1}{2}$＜$\frac{λ}{2}$＜0，
解得：-1＜λ＜0；
如果角C為鈍角，0＜A＜$\frac{π}{6}$，則有$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{λ}{2}$＜1，
解得：$\sqrt{3}$＜λ＜2，
綜上，λ∈（-1，0）∪（$\sqrt{3}$，2）．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．