Question

已知a_n+1=-

1

2

a_n+

3

2

，a₁=4，{a_n}前n項和為S_n，則|S_n-n-2|＜

1

2013

的最小整數(shù)n為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：考慮把等式a_n+1=-

1

2

a_n+

3

2

，變形得到：（a_n+1-1）=-

1

2

（a_n-1），然后根據(jù)數(shù)列b_n=a_n-1為等比數(shù)列，求出S_n代入絕對值不等式求解即可得到答案．

解答： 解：對a_n+1=-

1

2

a_n+

3

2

變形得：（a_n+1-1）=-

1

2

（a_n-1）
∵a₁=4，
∴數(shù)列{a_n-1}為首項為3，公比為-

1

2

的等比數(shù)列．
∴a_n-1=3×(-

1

2

)n-1
∴a_n=3×(-

1

2

)n-1+1
∴S_n=

3[1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

+n=2+n-2×(-

1

2

)n
∴|S_n-n-2|=|2×(-

1

2

)n|＜

1

2013

解得最小的正整數(shù)n=12．
故答案為12．

點評：此題主要考查不等式的求解問題，其中涉及到可化為等比數(shù)列的數(shù)列的求和問題，屬于不等式與數(shù)列的綜合性問題，判斷出數(shù)列a_n-1為等比數(shù)列是題目的關(guān)鍵，有一定的技巧性屬于中檔題目．