Question

已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)．若△是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，試求直線的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．依題意

，所以．

又，所以．

于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．             

（Ⅱ）依題意，顯然直線斜率存在.設(shè)直線的方程為，則

由得．

因?yàn)?sub>,得．  ……………… ①

設(shè)，線段中點(diǎn)為，則

于是．

因?yàn)?sub>，線段中點(diǎn)為，所以．

（1）當(dāng)，即且時(shí)，

，整理得．      ………………②

因?yàn)?sub>，，

所以

，

整理得，解得或．

當(dāng)時(shí)，由②不合題意舍去.

由①②知，時(shí)，．

（2）當(dāng)時(shí)，

（ⅰ）若時(shí)，直線的方程為，代入橢圓方程中得.

設(shè)，,依題意，若△為等腰直角三角形，則

.即，解得或.不合題意舍去，

即此時(shí)直線的方程為.

（ⅱ）若且時(shí)，即直線過(guò)原點(diǎn).依橢圓的對(duì)稱性有,則依題意不能有,即此時(shí)不滿足△為等腰直角三角形.

綜上，直線的方程為或或.