Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S₁=10，當(dāng)n≥2時，2S_n=（n+4）a_n．
（1）求a₂，a₃的值；  
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

的值．

Answer 1

分析：（1）由a₁=S₁可求a₁，由2S_n=（n+4）a_n，令n=2，可求a₂，令n=3，可求a₃
（2）由2S_n=（n+4）a_n，可得2S_n-1=（n+3）a_n-1（n≥3），兩式相減，利用疊乘可求a_n
（3）由（2）可得

1

anan+1

=

1

(n+3)(n+4)

=

1

n+3

-

1

n+4

，利用裂項(xiàng)可求

解答：解：（1）∵a₁=S₁=10，由2S_n=（n+4）a_n
令n=2，得2S₂=（2+4）a₂，即a₁+a₂=6a₂，
∴a₂=5
令n=3，得2S₃=（3+4）a₃，即2（a₁+a₂+a₃）=7a₃，
∴a₃=6
（2）∵2S_n=（n+4）a_n，2S_n-1=（n+3）a_n-1（n≥3）
兩式相減，得2a_n=2（S_n-S_n-1）=（n+4）a_n-（n+3）a_n-1
即

an

an-1

=

n+3

n+2

(n≥3)
∴an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…

an-1

an-2

•

an

an-1

=10•

5

10

•

6

5

•

7

6

…

n+3

n+2

=n+3（n≥3）
n=2時也適合，n=1時，a₁=10不適合
∴an=

10(n=1) n+3(n≥2)

（3）當(dāng)n≥2時，
∵

1

anan+1

=

1

(n+3)(n+4)

=

1

n+3

-

1

n+4

∴

1

a2a3

+

1

a3a4

+…

1

anan+1

=(

1

5

-

1

6

)+(

1

6

-

1

7

)+…+(

1

n+3

-

1

n+4

)=

1

5

-

1

n+4

點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，疊加法求解數(shù)列的通項(xiàng)及裂項(xiàng)求解數(shù)列的和，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用．