Question

設函數f（x）=x^α+1（α∈Q）的定義域為[-b，-a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函數f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值為6，最小值為3，則f（x）在區(qū)間[-b，-a]上的最大值與最小值的和為________．

Answer 1

-5或9
分析：先根據函數f（x）=x^α+1得f（x）-1=x^α，由題意知函數y=x^α，或是奇函數或是偶函數，再根據奇（偶）函數的圖象特征，利用函數y=x^α在區(qū)間[a，b]上的最大值為6，最小值為3，根據圖象的對稱性可得y=x^α在區(qū)間[-b，-a]上的最大值與最小值的情況，從而得出答案．
解答：∵函數f（x）=x^α+1∴f（x）-1=x^α，
由題意知函數y=x^α，或是奇函數或是偶函數，
①當函數y=f（x）-1=x^α，是奇函數時，
∴其圖象關于原點對稱，
又函數f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值為6，最小值為3，
∴函數f（x）-1在區(qū)間[a，b]上的最大值為5，最小值為2，
由對稱性知：
函數f（x）-1在區(qū)間區(qū)間[-b，-a]上的最大值為-2，最小值為-5，
∴函數f（x）在區(qū)間區(qū)間[-b，-a]上的最大值為-1，最小值為-4，
則f（x）在區(qū)間[-b，-a]上的最大值與最小值的和為-5；
②當函數y=f（x）-1=x^α，是偶函數時，
∴其圖象關于原點對稱，
又函數f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值為6，最小值為3，
∴函數f（x）-1在區(qū)間[a，b]上的最大值為5，最小值為2，
由對稱性知：
函數f（x）-1在區(qū)間區(qū)間[-b，-a]上的最大值為5，最小值為2，
∴函數f（x）在區(qū)間區(qū)間[-b，-a]上的最大值為6，最小值為3，
則f（x）在區(qū)間[-b，-a]上的最大值與最小值的和為9；
故答案為：-5或9．
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、函數的最值及其幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．