在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B1上的一動點，平面PAD1和平面PBC1與對角面ABC1D1所成的二面角的平面角分別為α、β，試求α＋β的最大值和最小值．

答案：
解析：

　　解析：如下圖．對角面A1B1CD⊥對角面ABC1D1，其交線為EF．過P作PQ⊥EF于Q，則PQ⊥對角面ABC1D1．分別連PE、PF．

　　∵EF⊥AD1，PE⊥AD1(三垂線定理)．故由二面角的平面角定義知∠PFQ＝α，

　　同理，∠PFQ＝β．

　　設(shè)A1P＝x，(0≤x≤1)，則PB1＝1－x．

　　∵EQ＝A1P，QF＝PB1，PQ＝，

　　∴當0＜x＜1時，有

　　tanα＝，tanβ＝，

　　∴tan(α＋β)＝＝

　�。�

　　而當x＝0時α＝，tan(α＋β)＝tan(＋β)＝－cotβ＝－＝－，上式仍成立；類似地可以驗證．當x＝1時，上式也成立，于是，當x＝時，tan(α＋β)取最小值－2；當x＝0或1時，tan(α＋β)取最大值－．

　　又∵0＜α＋β＜π，

　　∴(α＋β)max＝π－arctan

　　(α＋β)min＝π－arctan2


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

11、如圖所示在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，給出以下四個命題：
①異面直線C1P和CB1所成的角為定值；
②二面角P-BC1-D的大小為定值；
③三棱錐D-BPC1的體積為定值；
④直線CP與直線ABC1D1所成的角為定值．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AB與CD1之間的距離是（　�。�

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（理科）如圖，在棱長為1的正方體A'C中，過BD及B'C'的中點E作截面BEFD交C'D'于F．
（1）求截面BEFD與底面ABCD所成銳二面角的大小；
（2）求四棱錐A'-BEFD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2004•武漢模擬）（文科）在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，AC′為對角線，M、N分別為BB′，B′C′中點，P為線段MN中點．
（1）求DP和平面ABCD所成的角的正切；
（2）求四面體P-AC′D′的體積．

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