Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且4a_n-2S_n=1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2log

1

2

an，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n與{b_n}的前n項和T_n；
（2）設(shè)數(shù)列{

bn

an

}的前n項和為U_n，求證：0＜U_n≤4．

Answer 1

分析：（1）取n=1解出數(shù)列{a_n}的首項a₁=

1

2

，然后用n-1代替n，將得到的式子與原式作差，可得關(guān)于anan-1的關(guān)系式，從而得出數(shù)列{a_n}的是一個等比數(shù)列，最后可得數(shù)列{a_n}的通項a_n，再將這個通項代入到b_n=2log

1

2

an，n∈N^*，從而得出b_n=4-2n，為等差數(shù)列，用公式可得其{b_n}的前n項和T_n=-n²+3n；
（2）數(shù)列{

bn

an

}的通項是等差與等比對應(yīng)項的積，因此可以用錯位相減法求出它的前n項和為U_n，最后根據(jù)數(shù)列U_n的單調(diào)性結(jié)合不等式的性質(zhì)，可以證明不等式0＜U_n≤4成立．

解答：解：（1）易得a₁=

1

2

．…（1分）
當n≥2時，4a_n-2S_n=1，…①
4a_n-1-2S_n-1=1…②
①-②，得4a_n-4a_n-1-2a_n=0⇒a_n=2a_n-1．
∴

an

an-1

=2（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=

1

2

為首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=2^n-2．…（4分）
從而b_n=4-2n，其前n項和T_n=-n²+3n…（6分）
（2）∵{a_n}為等比數(shù)列、{b_n}為等差數(shù)列，

bn

an

=

4-2n

2n-2

，
∴U_n=

2

1 2

+

0

1

+

-2

2

+…+

6-2n

2n-3

+

4-2n

2n-2

…③

1

2

U_n=

2

1

+

0

2

+

-2

22

+…+

6-2n

2n-1

+

4-2n

2n-1

…④
③-④，得

1

2

U_n=4-

2

1

-

2

2

-

2

22

-…-

2

2n-2

-

4-2n

2n-1

，
∴U_n=

4n

2n-1

…（10分）
易知U₁=U₂=4，當n≥3時，U_n-U_n-1=

2-n

2n-3

＜0．
∴當n≥3時，數(shù)列{U_n}是遞減數(shù)列．…（11分）
∴0＜U_n＜U₃=3．
故0＜U_n≤4．…（12分）

點評：本題考查了數(shù)列的通項與求和，屬于中檔題．解題時一方面要注意證明一個數(shù)列成等比（差）數(shù)列，要交代它的首項和公比（差），另一方面要注意利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和的技巧性，此題對運算能力的要求較高．