在空間四邊形PABC中，PA⊥平面BAC，AC⊥ BC，若A在PB、PC上的射影分別是E、F，求證：EF⊥PB．

 

答案：
解析：

證明：∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BC．

又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC．而AF面PAC．

∴BC⊥AF．

又∵F是點(diǎn)A在PC上的射影，

∴AF⊥PC．∴AF⊥平面PBC．

∴AE在平面PBC內(nèi)的射影為EF．

又∵E為A在PB上的射影，∴AE⊥PB．

由三垂線定理的逆定理知EF⊥PB．

點(diǎn)評(píng)：本例證法是先證EF是AE在平面PBC內(nèi)的射影，然后根據(jù)PB⊥AE得出PB⊥EF．

 


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如圖，在空間四邊形PABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，若點(diǎn)A在PB、PC上的射影分別是E、F，求證：EF⊥PB.

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如圖,在空間四邊形PABC中,PA⊥面ABC,AC⊥BC.若A在PB、PC上的射影分別是E、F,

求證:EF⊥PB.

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